【2024四川宜宾25】【将军饮马】【瓜豆原理】【与圆有关的最值问题】

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抛物线的表达式为：=-3-4=(-)-，所以顶点D的坐标为(，-).(过程略.)

将军饮马

因为BD是定值，所以当BM+DM最小时，△BDM的周长最小.

作点B关于轴的对称点B'，连接DB'交轴于点M，此时BM+DM最小.

计算部分

★方法1：解析法根据抛物线的解析式求得：点B的坐标为(4，0)，所以点B'的坐标为(-4，0)，根据待定系数法求得：直线DB'的解析式为：=--，所以点M的坐标为(0，-).

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★方法2：几何法根据抛物线的解析式求得：点B的坐标为(4，0)，所以点B'的坐标为(-4，0).作DN⊥轴于点N.易证：△B'OM∼△DNM，所以==，所以OM=ON×=，所以点M的坐标为(0，-).

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瓜豆现象

将点P绕点A顺时针旋转60°，得到点Q.易求得：点Q的坐标为(1，-2).

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连接EP、FQ、AQ.根据SAS证明：△AEP≅△AFQ，所以FQ=EP=1，所以点F在以点Q为圆心，1为半径的圆上运动.

点圆最值

连接BQ.由勾股定理得：BQ=.

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如左图，BQ交圆Q于点F，此时BF取得最小值.所以BF=BQ-FQ=-1.

如右图，BQ的延长线交圆Q于点F，此时BF取得最大值.所以BF=BQ+FQ=+1.

综上所述：-1≤BF≤+1.

动态演示

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